Question

【題目】已知橢圓經過點，，點為橢圓的右頂點，直線與橢圓相交于不同于點的兩個點、.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）當時，求面積的最大值；

（3）若，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）求出后可得橢圓的標準方程.

（2）設直線，求出的坐標后可用表示，利用雙勾函數的性質可求其最大值.

（3）令，，則可得，利用同角的三角函數的基本關系式可證為定值5.

（1）由題設有，故，所以橢圓的標準方程為.

（2）直線的斜率必存在，設直線，

由可得，

故即，故，

同理，.

所以

，

令，則，則，且令,

任意的，，

因為，所以即，

所以為增函數，所以，

當且僅當時等號成立，故的最大值為.

（3）設，，

所以即為，而，所以，

故即.

又

，

故為定值5.