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【題目】若函數滿足:對于任意正數，都有，且，則稱函數為“L函數”．

（1）試判斷函數與是否是“L函數”；

（2）若函數為“L函數”，求實數a的取值范圍；

（3）若函數為“L函數”，且，求證：對任意，都有．

【答案】（1）是“L函數”. 不是“L函數”.（2）（3）見解析

【解析】（1）對于函數，當時，，

又，所以，

故是“L函數”.

對于函數，當時，，

故不是“L函數”.

（2）當時，由是“L函數”，

可知，即對一切正數恒成立，

又，可得對一切正數恒成立，所以．

由，可得，

故，又，故

由對一切正數恒成立，可得，即．

綜上可知，a的取值范圍是．

（3）由函數為“L函數”， 可知對于任意正數，

都有，且，

令，可知，即，

故對于正整數k與正數，都有

，

對任意，可得，又，

所以，

同理，

故 ．

練習冊系列答案
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【題目】上海市松江區天馬山上的“護珠塔”因其傾斜度超過意大利的比薩斜塔而號稱“世界第一斜塔”．興趣小組同學實施如下方案來測量塔的傾斜度和塔高：如圖，記O點為塔基、P點為塔尖、點P在地面上的射影為點H．在塔身OP射影所在直線上選點A，使仰角∠HAP=45°，過O點與OA成120°的地面上選B點，使仰角∠HPB=45°（點A、B、O都在同一水平面上），此時測得∠OAB=27°，A與B之間距離為33.6米．試求：

（1）塔高（即線段PH的長，精確到0.1米）；

（2）塔身的傾斜度（即PO與PH的夾角，精確到0.1°）．

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【題目】某地政府為改善居民的住房條件，集中建設一批經適樓房．用了1400萬元購買了一塊空地，規劃建設8幢樓，要求每幢樓的面積和層數等都一致，已知該經適房每幢樓每層建筑面積均為250平方米，第一層建筑費用是每平方米3000元，從第二層開始，每一層的建筑費用比其下面一層每平方米增加80元．

（1）若該經適樓房每幢樓共層，總開發費用為萬元，求函數的表達式（總開發費用=總建筑費用+購地費用）；

（2）要使該批經適房的每平方米的平均開發費用最低，每幢樓應建多少層？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】曲線上動點到定點與定直線的距離之比為常數；

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）設圓心為的圓與曲線交于點與點，求的最小值，并求此時圓的方程；

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對于函數，下列個結論正確的是__________（把你認為正確的答案全部寫上）．

（1）任取，都有；

（2）函數在上單調遞增；

（3），對一切恒成立；

（4）函數有個零點；

（5）若關于的方程有且只有兩個不同的實根，，則.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是菱形，，，點P，Q，M分別是線段SD，PD，AP的中點，點N是線段SB上靠近B的四等分點．

（1）若R在直線MQ上，求證：平面ABCD；

（2）若平面ABCD，求平面SAD與平面SBC所成的銳二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（，為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線經過點，曲線的直角坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程，曲線的極坐標方程；

（2）若，是曲線上兩點，當時，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，、分別為、的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，如果存在給定的實數對，使得恒成立，則稱為“函數”；

（1）判斷函數，是否是“函數”；

（2）若是一個“函數”，求出所有滿足條件的有序實數對；

（3）若定義域為的函數是“函數”，且存在滿足條件的有序實數對和，當時，的值域為，求當時的值域；

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