Question

【題目】已知數列滿足，其中是數列的前項和．

（1）若數列是首項為，公比為的等比數列，求數列的通項公式；

（2）若，，求數列的通項公式；

（3）在（2）的條件下，設，求證：數列中的任意一項總可以表示成該數列其他兩項之積．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）詳見解析

【解析】

試題（1）易知，則，代入可得數列的通項公式（2）由，則，可證為等差數列，則數列的通項公式可求（3）對于給定的，若存在，使得，

只需，由此能夠證明數列中的任意一項總可以表示成其他兩項之積．

試題解析：（1）因為，

，

所以．

（2）若，則，∴，

兩式相減得，即，

當時，，

兩式相減得，即，

又由，得，，

所以數列是首項為2，公差為3-2=1的等差數列，

故數列的通項公式是．

（3）由（2）得，

對于給定的，若存在，使得，

只需，

即，即，則，

取，則，

∴對數列中的任意一項，都存在和使得