Question

【題目】某地舉行水上運動會，如圖，岸邊有兩點，，小船從點以千米/小時的速度沿方向勻速直線行駛，同一時刻運動員出發，經過小時與小船相遇.（水流速度忽略不計）

（1）若，，運動員從處出發游泳勻速直線追趕，為保證在1小時內（含1小時）能與小船相遇，試求運動員游泳速度的最小值；

（2）若運動員先從處沿射線方向在岸邊跑步勻速行進小時后，再游泳勻速直線追趕小船.已知運動員在岸邊跑步的速度為4千米小時，在水中游泳的速度為2千米小時，試求小船在能與運動員相遇的條件下的最大值.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）.

【解析】

（1）設運動員游泳的速度為千米/小時，結合余弦定理即可表示出，再由二次函數性質即可求得速度的最小值.

（2）根據余弦定理代入化簡變形，可轉化為一元二次方程，由一元二次方程有解，即可確定，進而求得速度的最大值.

（1）設運動員游泳的速度為千米/小時，

由余弦定理可知，

化簡可得，

因為，所以，

則當，即時，取得最小值，此時，

所以為保證在1小時內（含1小時）能與小船相遇，運動員游泳速度的最小值為2.

（2）運動員游泳時間為 小時，運動員在岸邊跑步的速度為4千米小時，在水中游泳的速度為2千米小時，

由余弦定理可知，

整理化簡可得，

設，

則上式可化為在內有解，

則，

解得，

當時，代入方程可解得，滿足，

所以小船在能與運動員相遇的條件下的最大值為.