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【題目】如圖，在正三棱柱中，.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）在線段上是否存在點？使得二面角的大小為60°，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

建立空間直角坐標系，

（1）利用直線的方向向量和平面的法向量，計算出直線與平面所成角的正弦值.

（2）設出的長，得到點的坐標，通過平面與平面的法向量，結合二面角的大小為60°列方程，解方程求得的長.

如圖，以中點為原點建立空間直角坐標系，

可得.

（1）所以，平面的一個法向量

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（2）假設存在滿足條件的點，設，

則，設平面的法向量，

因為，，

且

所以 所以平面的一個法向量

又因為平面的一個法向量

所以，

解得，因為，此時，

所以存在點，使得二面角的大小為60°.

練習冊系列答案
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【題目】廠家在產品出廠前，需對產品做檢驗，廠家將一批產品發給商家時，商家按合同規定也需隨機抽取一定數量的產品做檢驗，以決定是否接收這批產品．

（1）若廠家庫房中（視為數量足夠多）的每件產品合格的概率為 從中任意取出 3件進行檢驗，求至少有 件是合格品的概率；

（2）若廠家發給商家 件產品，其中有不合格，按合同規定 商家從這 件產品中任取件，都進行檢驗，只有 件都合格時才接收這批產品，否則拒收．求該商家可能檢驗出的不合格產品的件數ξ的分布列，并求該商家拒收這批產品的概率．

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【題目】某超市在節日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規則如下：一個袋子裝有只形狀和大小均相同的玻璃球，其中兩只是紅色，三只是綠色，顧客從袋子中一次摸出兩只球，若兩只球都是紅色，則獎勵元；共兩只球都是綠色，則獎勵元；若兩只球顏色不同，則不獎勵．

（1）求一名顧客在一次摸獎活動中獲得元的概率；

（2）記為兩名顧客參與該摸獎活動獲得的獎勵總數額，求隨機變量的分布列和數學期望．

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【題目】已知函數.

(Ⅰ)討論函數的單調性；

(Ⅱ)設，若對任意的，恒成立，求的取值范圍.

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【題目】已知函數f(x)＝lg(x＋1)．

(1)若0<f(1－2x)－f(x)<1，求實數x的取值范圍；

(2)若g(x)是以2為周期的偶函數，且當0≤x≤1時，有g(x)＝f(x)，當x∈[1,2]時，求函數y＝g(x)的解析式．

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【題目】某地舉行水上運動會，如圖，岸邊有兩點，，小船從點以千米/小時的速度沿方向勻速直線行駛，同一時刻運動員出發，經過小時與小船相遇.（水流速度忽略不計）

（1）若，，運動員從處出發游泳勻速直線追趕，為保證在1小時內（含1小時）能與小船相遇，試求運動員游泳速度的最小值；

（2）若運動員先從處沿射線方向在岸邊跑步勻速行進小時后，再游泳勻速直線追趕小船.已知運動員在岸邊跑步的速度為4千米小時，在水中游泳的速度為2千米小時，試求小船在能與運動員相遇的條件下的最大值.

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【題目】設函數的定義域為，如果存在非零常數，對于任意，都有，則稱函數是“似周期函數”，非零常數為函數的“似周期”．現有下面四個關于“似周期函數”的命題：

①如果“似周期函數”的“似周期”為，那么它是周期為2的周期函數；

②函數是“似周期函數”；

③如果函數是“似周期函數”，那么“或”．

以上正確結論的個數是（ ）

A.0B.1C.2D.3

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【題目】設橢圓：的左、右焦點分別為，，下頂點為，橢圓的離心率是，的面積是.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）直線與橢圓交于，兩點（異于點），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

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