Question

【題目】已知關于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0
（1）當方程C表示圓時，求m的取值范圍；
（2）若圓C與直線l1：x+2y﹣4=0相交于M，N兩點，且|MN|= ，求m的值；
（3）在（2）條件下，若圓C上存在四點到直線l2：x﹣2y+b=0的距離均為 ，試求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0變為（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m

當5﹣m＞0即m＜5時，方程C表示圓；

（2）解：圓心（1，2）到直線l的距離d= = ，

∵弦長|MN|= ，

∴（ ）2+（ ）2=5﹣m，解得m=3．

故m=3．

（3）解：圓心（1，2）到直線l的距離d= ，

假設存在直線l：x﹣2y+b=0，使得圓上有四點到直線l的距離為 ，

必須 ＜| ﹣ |，解得4﹣ ＜b＜2+

【解析】（1）由方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0變為（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m．當5﹣m＞0表示圓，解出即可．（2）利用點到直線的距離可得：圓心（1，2）到直線l的距離d，利用（ ）2+（ ）2=5﹣m，即可解得m．（3）如圖所示，圓心（1，2）到直線l的距離d= ，假設存在直線l：x﹣2y+b=0，使得圓上有四點到直線l的距離為 ，必須 ＜| ﹣ |，解出即可．