Question

【題目】已知函數，其中，為參數，且.

（Ⅰ）當時，判斷函數是否有極值；

（Ⅱ）要使函數的極小值大于零，求參數的取值范圍；

（Ⅲ）若對（Ⅱ）中所求的取值范圍內的任意函數，函數在區間內都是增函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）無極值；（Ⅱ）；(III) .

【解析】

(I)當時,,在內是增函數，無極值；(II)令，得,可判斷函數在處取得極小值，解不等式即可得結果；(III)由（II）知，函數在區間與內都是增函數,則須滿足不等式組或,進而可得結果.

(I)當時,,則在內是增函數，

故無極值.

(II),令，得,

由 及（I）可知無極值，

所以只需考慮的情況，

當變化時，的符號及的變化情況如下表:

		0
	+	0	-	0	+
	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

因此，函數在處取得極小值且，

要使，必有，

可得，.

(III)由（II）知，函數在區間與內都是增函數,

由題設，函數在內是增函數，則須滿足不等式組,

或,

由(II)，參數時， ，

要使不等式關于參數恒成立，必有，

綜上，解得或，

的取值范圍是.