Question

已知函數，等比數列的前n項和為，數列的前n項為，且前n項和滿足．
（1）求數列和的通項公式：
（2）若數列前n項和為，問使的最小正整數n是多少？

Answer 1

（1），；（2）252.

試題分析：（1）由已知得當時，，則等比數列的公比，又，解得，由等比數列通項公式可得所求數列的通項公式；由已知可先求出數列的通項公式，再求的通項公式，因為，且，所以是首項為1，公差為1的等差數列，則，即，從而，又，故數列的通項公式為；（2）由數列的通項公式可采用裂項求和法先求出前項和，從而可得，故滿足條件的最小正整數是252.
（1）因為等比數列的前項和為，
則當時，.
因為是等比數列，所以的公比.    2分
，解得..    4分
由題設知的首項，其前項和滿足，
由，且.
所以是首項為1，公差為1的等差數列.    6分
，.，又.
故數列的通項公式為.    8分
（2）因為，所以.    10分
.    12分
要使，則.所以.
故滿足條件的最小正整數是252.    14分項和公式.