Question

【題目】已知橢圓與圓：有且僅有兩個公共點，點、、分別是橢圓上的動點、左焦點、右焦點，三角形面積的最大值是．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點在橢圓第一象限部分上運動，過點作圓的切線，過點作的垂線，求證：，交點的縱坐標的絕對值為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）根據橢圓與圓有且僅有兩個公共點，以及橢圓和圓的對稱性，三角形面積的最大值是，可以求出的值，得到橢圓的方程．

（2）設出坐標，根據面積相等及勾股定理得到之間的等量關系，得到點之間的坐標關系，再由，將點坐標用點坐標表示出來，即可證明點縱坐標的絕對值為定值．

（1）依題意，解得， 所以橢圓的方程是．

（2）設點，，則，設直線與圓的切點為，

由幾何知識得到：，，

所以=，即+=，

又因為，所以，

代入上式得：，

所以，即為定值．