Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求證：對任意成立.

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（Ⅰ）先求導數得到切線斜率，再求解切線方程；

（Ⅱ）通過求解的最小值來比較大小.

（Ⅰ）因為

所以

當時，

所以，而

曲線在處的切線方程為

化簡得到

（Ⅱ）法一：

因為，令

得

當時，，，在區間的變化情況如下表:

		0		0
		極大值		極小值

所以在上的最小值為中較小的值，

而，所以只需要證明

因為，所以

設，其中，所以

令，得，

當時，，，在區間的變化情況如下表:

		0
		極小值

所以在上的最小值為，而

注意到，所以，問題得證

法二：

因為“對任意的，”等價于“對任意的，”

即“，”，故只需證“，”

設，所以

設，

令，得

當時，，，在區間的變化情況如下表:

		0
		極小值

所以 上的最小值為，而

所以時，，所以在上單調遞增

所以

而，所以，問題得證

法三：

“對任意的，”等價于“在上的最小值大于”

因為，令

得

當時，，，在在上的變化情況如下表:

		0		0
		極大值		極小值

所以在上的最小值為中較小的值，

而，所以只需要證明

因為，所以

注意到和，所以

設，其中

所以

當時，，所以單調遞增，所以

而

所以，問題得證

法四：

因為，所以當時，

設，其中

所以

所以，，的變化情況如下表:

		0