Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，點D是AB的中點．求證：

（1）AC⊥BC1；
（2）AC1∥平面B1CD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，

∴CC1⊥AC，

又AC⊥BC，BC∩CC1=C，

∴AC⊥平面BCC1B1

∴AC⊥BC1．

（2）證明：設BC1與B1C的交點為O，連接OD，BCC1B1為平行四邊形，則O為B1C中點，又D是AB的中點，

∴OD是三角形ABC1的中位線，OD∥AC1，

又∵AC1平面B1CD，OD平面B1CD，

∴AC1∥平面B1CD．

【解析】1、由直三棱柱的特點可得，CC1⊥平面ABC即得CC1⊥AC，根據線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BCC1B1，從而得到AC⊥BC1。
2、根據題意作輔助線，連接OD。由已知可得BCC1B1為平行四邊形，又D是AB的中點即得OD是三角形ABC1的中位線，OD∥AC1，，利用線面平行的判定定理可得證。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點，以及對直線與平面平行的判定的理解，了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．