Question

【題目】已知數列{an}的各項均為整數，其前n項和為Sn．規定：若數列{an}滿足前r項依次成公差為1的等差數列，從第r﹣1項起往后依次成公比為2的等比數列，則稱數列{an}為“r關聯數列”．

（1）若數列{an}為“6關聯數列”，求數列{an}的通項公式；

（2）在（1）的條件下，求出Sn，并證明：對任意n∈N*，anSn≥a6S6；

（3）已知數列{an}為“r關聯數列”，且a1=﹣10，是否存在正整數k，m（m＞k），使得a1+a2+…+ak﹣1+ak=a1+a2+…+am﹣1+am？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（或）

（2）見解析；（3）存在或或或．

【解析】

試題（1）若數列{an}為“6關聯數列”，{an}前6項為等差數列，從第5項起為等比數列，可得a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1，即可求數列{an}的通項公式；

（2）由（1）得（或，可見數列{anSn}的最小項為a6S6=﹣6，即可證明：對任意n∈N*，anSn≥a6S6；

（3），分類討論，求出所有的k，m值．

解：（1）∵數列{an}為“6關聯數列”，

∴{an}前6項為等差數列，從第5項起為等比數列，

∴a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1=﹣3

∴（或）

（2）由（1）得（或）

，

{Sn}：﹣3，﹣5，﹣6，﹣6，﹣5，﹣3，1，9，25，…{anSn}：9，10，6，0，﹣5，﹣6，4，72，400，…，

可見數列{anSn}的最小項為a6S6=﹣6，

證明：，

列舉法知當n≤5時，（anSn）min=a5S5=﹣5；

當n≥6時，，設t=2n﹣5，則．

（3）數列{an}為“r關聯數列”，且a1=﹣10，∵

∴

①當k＜m≤12時，由得（k+m）（k﹣m）=21（k﹣m）k+m=21，k，m≤12，m＞k，∴或．

②當m＞k＞12時，由2k﹣11﹣56=2m﹣11﹣56得m=k，不存在

③當k≤12，m＞12時，由，2m﹣10=k2﹣21k+112

當k=1時，2m﹣10=92，mN*；當k=2時，2m﹣10=74，mN*；

當k=3時，2m﹣10=58，mN*；當k=4時，2m﹣10=44，mN*；

當k=5時，2m﹣10=25，m=15∈N*；當k=6時，2m﹣10=22，mN*；

當k=7時，2m﹣10=14，mN*；當k=8時，2m﹣10=23，m=13∈N*；

當k=9時，2m﹣10=22，m=12舍去；當k=10時，2m﹣10=2，m=11舍去

當k=11時，2m﹣10=2，m=11舍去；當k=12時，2m﹣10=22，m=12舍去

綜上所述，∴存在或或或．