Question

【題目】關于函數，下列說法正確的是________.

①是的最大值點.

②函數有且只有1個零點.

③存在正實數，使得恒成立.

④對任意兩個不相等的正實數，若，則.

Answer 1

【答案】②④

【解析】

①對函數求導，結合函數極值的定義進行判斷即可；

②求函數的導數，結合函數單調性及零點存在性定理，可判斷出零點個數；

③利用參數分離法，構造函數，求函數的導數，研究函數的單調性和極值進行判斷即可；

④設 ，則，構造函數并結合函數的單調性，可證明，再結合的單調性，可得到，即可得到.

對于①，的定義域為，，所以時，

函數單調遞減，時，函數單調遞增，

所以是的極小值點而不是最大值點，即①不正確；

對于②，令，

則，

則函數在上單調遞減，

又，

，

所以函數有且只有1個零點，即②正確；

對于③，，可得，

令，則，

令，則，

所以時，函數單調遞增，

時，函數單調遞減，

則，所以，

即在上函數單調遞減，且，無最小值，

所以不存在正實數，使得恒成立，即③不正確；

對于④，對任意兩個不相等的正實數，

若，則，④正確.

證明如下：

由函數在上單調遞減，在上單調遞增，

不妨設 ，則，則

，

令，則，令，

則，則，

所以在上是減函數，

所以，所以，

又因為在上單調遞增，所以，

故，即④正確.

故答案為：②④