Question

【題目】如圖，在中，分別為的中點，為的一個三等分點（靠近點）．將沿折起，記折起后點為，連接為上的一點，且，連接．

（1）求證：平面；

（2）若，直線與平面所成的角為，當最大時，求，并計算．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），

【解析】

（1）先根據平行線分線段成比例證得，再根據線面平行的判定定理證平面；

（2）根據線面位置關系建立空間直角坐標系，利用向量法進行求解即可．

（1）在中，因為為的三等分點（靠近點），為的中點，

所以．

又分別為的中點，所以，

所以，所以，

所以，所以．

又平面平面，所以平面．

（2）易知，所以以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，則，，

連接，由，可得，

則．

設為平面的法向量，

則，即，所以，

令，則，所以是平面的一個法向量．

所以，

所以當時，取最大值，也取最大值，此時，則，故．

所以當最大時，，.