Question

【題目】已知函數f（x），

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）證明：a＝1時，f（x）+g（x）﹣（1）lnx＞e．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）對求導后，再對a分類討論即可得出函數的單調性．

（2）a＝1時，將所證不等式轉化為ex﹣ex+1，令F（x）＝ex﹣ex+1，G（x），分別根據導數求出的最小值和的最大值即可證明不等式成立.

（1）f（x）alnx，（x∈（0，+∞））．

．

當a≤0時，＜0，函數f（x）在x∈（0，+∞）上單調遞減．

a＞0時，由，得，由，得

所以函數在（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增．

（2）證明：a＝1時，要證f（x）+g（x）﹣（1）lnx＞e．

即要證：lnx﹣e＞0ex﹣ex+1．x∈（0，+∞）．

令F（x）＝ex﹣ex+1，F′（x）＝ex﹣e，

當x∈（0，1）時，F′（x）＜0，此時函數F（x）單調遞減；

當x∈（1，+∞）時，F′（x）＞0，此時函數F（x）單調遞增．

可得x＝1時，函數F（x）取得最小值，F（1）＝1．

令G（x），G′（x），

當時，，此時為增函數，

當時。，此時為減函數

所以x＝e時，函數G（x）取得最大值，G（e）＝1．

x＝1與x＝e不同時取得，因此F（x）＞G（x），即ex﹣ex+1．x∈（0，+∞）．

故原不等式成立．