Question

【題目】如圖，經過村莊A有兩條互相垂直的筆直公路AB和AC，根據規劃擬在兩條公路圍成的直角區域內建一工廠P，為了倉庫存儲和運輸方便，在兩條公路上分別建兩個倉庫M，N（異于村莊A，將工廠P及倉庫M，N近似看成點，且M，N分別在射線AB，AC上），要求MN=2，PN=1（單位：km），PN⊥MN．
（1）設∠AMN=θ，將工廠與村莊的距離PA表示為θ的函數，記為l（θ），并寫出函數l（θ）的定義域；
（2）當θ為何值時，l（θ）有最大值？并求出該最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點P作PD⊥AC，垂足為D，連結PA．

在Rt△MAN中，sinθ= = ，故NA=2sinθ，

在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ= = ，cosθ= = ，

故PD=sinθ，ND=cosθ．

在Rt△PDA中，PA= =

= ，

所以l（θ）= ，

函數l（θ）的定義域為（0， ）．

（2）解：由（1）可知，l（θ）= ，

即l（θ）= =

= = = ，

又θ∈（0， ），故2θ﹣ ∈（﹣ ， ），所以當2θ﹣ = ，

即θ= 時，sin（2θ﹣ ）取最大值1，

l（θ）max= =1+ ．

答：當θ= 時，l（θ）有最大值，最大值為1+ ．

【解析】（1）過點P作PD⊥AC，垂足為D，連結PA．運用直角三角形中銳角三角函數的定義，求得PD，ND，PA；（2）運用同角的平方關系和二倍角公式及兩角和差函數公式，化簡函數式，再由正弦函數的圖形和性質，可得最大值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最值及其幾何意義(利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值)．