Question

【題目】已知橢圓： （）的短軸長為2，以為中點的弦經過左焦點，其中點不與坐標原點重合，射線與以圓心的圓交于點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若四邊形是矩形，求圓的半徑；

（Ⅲ）若圓的半徑為2，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .（3）四邊形面積的最小值為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據題意列出關于 、 、的方程組，結合性質 ， ，求出 、 、，即可得結果；（Ⅱ）設直線的方程為，直線與曲線聯立，根據韋達定理結合，可求出，從而可得結果；（Ⅲ）根據弦長公式，點到直線距離公式和三角形面積公式可得四邊形面積 ，利用單調性可得結果.

試題解析：（Ⅰ）由題意可知， ， ，則， .

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）由題意可知，直線不與軸垂直，且經過點，

所以可設直線的方程為.

由得.

易知判別式，設， ，則

， ①

所以，

所以的中點為.

因為四邊形是矩形，所以，且.

則，即，②

又因為， ，③

由①②③解得.

所以點，

所以圓的半徑.

（Ⅲ）當圓的半徑為2時，由（Ⅱ）可知的中點為，

所以直線的斜率為，所以直線的方程為.

設點到直線的距離為，因為點是弦的中點，

所以點到直線的距離也為，

則.

因為點， 位于直線的異側，所以.

所以 .

又因為，

所以

所以四邊形面積

，其中.

可知當時， ，

即四邊形面積的最小值為.