Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]
設函數f（x）=|x﹣4|，g（x）=|2x+1|．
（1）解不等式f（x）＜g（x）；
（2）若2f（x）+g（x）＞ax對任意的實數x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）＜g（x）等價于（x﹣4）2＜（2x+1）2，∴x2+4x﹣5＞0，

∴x＜﹣5或x＞1，

∴不等式的解集為{x|x＜﹣5或x＞1}；

（2）解：令H（x）=2f（x）+g（x）= ，G（x）=ax，

2f（x）+g（x）＞ax對任意的實數x恒成立，即H（x）的圖象恒在直線G（x）=ax的上方．

故直線G（x）=ax的斜率a滿足﹣4≤a＜ ，即a的范圍為[﹣4， ）．

【解析】（1）f（x）＜g（x）等價于（x﹣4）2＜（2x+1）2 ， 從而求得不等式f（x）＜g（x）的解集．（2）由題意2f（x）+g（x）＞ax對任意的實數x恒成立，即H（x）的圖象恒在直線G（x）=ax的上，即可求得a的范圍．
【考點精析】利用絕對值不等式的解法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．