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【題目】已知，函數.

（1）經過原點分別作曲線、的切線，若兩切線的斜率互為倒數，證明：；

（2）設，當時，恒成立，試求實數的取值范圍.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設切線，切點為.

則,,

,

由題意，知切線的斜率為，方程為.

設曲線的切點為.

則.

又，消去、后，整理得:.

令.則:.

于是，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.

若，由，，則.

而在上單調遞減，故.

若，因為在區間上單調遞增，且，

所以，，這與題設矛盾.

綜上，.

（2）注意到，.

（i）當時，由，則.

于是，在區間上遞增，恒成立，符合題意.

（ii）當時，由，且

，

則在區間上遞增.

又，則存在，使得.

于是，在區間上遞減，在區間遞增.

又，此時，不恒成立，不符合題意.

綜上，實數的取值范圍是.

練習冊系列答案
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