Question

【題目】已知函數 是奇函數且當 時是減函數，若 ，則函數 的零點共有（ ）
A.4個
B.5個
C.6個
D.7個

Answer 1

【答案】D
【解析】根據題意，函數y=f（x）是定義域為R的奇函數，則f（0）=0，
當x∈（0，+∞）時是減函數，且f（1）=0，則函數在（0，+∞）上只有一個零點，
若函數y=f（x）是奇函數且當x∈（0，+∞）時是減函數，則f（x）在（-∞，0）為減函數，
又由f（1）=0，則f（-1）=-f（1）=0，則函數在（-∞，0）上只有一個零點，
故函數y=f（x）共有3個零點，依次為-1、0、1，
對于函數 ，
當 時，解得 ，
當 時，解得 或x=0，
當 時，解得 或 . 故函數 的零點共有7個.
所以答案是：D.
【考點精析】掌握函數單調性的性質和函數奇偶性的性質是解答本題的根本，需要知道函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．