Question

【題目】已知函數，且函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱.

（1）若存在，使等式成立，求實數m的最大值和最小值

（2）若當時不等式恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）最小值為,最大值為3, （2）.

【解析】

（1）化簡表達式，根據對稱性求得表達式，求得的值域，將分離常數，由的值域，求得的最大值和最小值.

（2）當時，化簡不等式為，根據的符號進行分類討論，利用分離常數法求得實數的取值范圍.

（1）

.

函數的圖象上取點，

關于直線對稱點的坐標為，

代入，可得，

，則

，

等式，可化為，

時，m的最小值為；

或2時，m的最大值為3；

（2）當時，，即，恒成立.

所以（i）當時，，所以，即，由于，所以的最小值為，所以；

（ii）當，不等式化為成立.

（iii）當時，，所以，即，由于，所以的最大值為，所以.

綜上所述，的取值范圍是.