Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，判斷的奇偶性，并說明理由；

（2）當，時，若，求的值；

（3）若，且對任意不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）或（3）

【解析】

（1）當時，為奇函數；當時，為非奇非偶函數.運用奇偶性的定義，即可得到結論；

（2）當，時，若，即為，當，當，去掉絕對值，由指數方程的解法，即可得到所求的值；

（3）只需考慮的情況，此時，不等式即，即，故.利用函數的單調性求得和，從而求得的取值范圍.

解：（1）當時，，

當時，為奇函數；

當時，為非奇非偶函數.

理由：當時，，

，

為奇函數；

當時，，

且，則為非奇非偶函數；

（2）當，時，若，

即為，

當，即時，，

解方程可得或（舍去）；

當，即時，，

解方程可得.

則或；

（3）當時，不等式即，顯然恒成立，

故只需考慮的情況，

此時，不等式即，即，

故.

由于函數在上單調遞增，

故.

對于函數，，

當時，，

當且僅當時，的最小值.

此時，要使存在，必須有，

即，此時的取值范圍是.