Question

【題目】已知時，函數有極值

（1）求實數的值；

（2）若方程有3個實數根，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先求導數，根據f（1）＝-2，f′（1）＝0列出方程求出a，b；

（2）由（1）所求解析式可得f′（x），利用導數可得f（x）的單調區間及極值，根據f（x）的圖象的大致形狀即可求得k的范圍；

（1）因為，所以f′（x）＝3ax2+b．

又因為當x＝1時，f（x）的極值為-2，所以，

解得a＝1，b＝-3．

（2）由（1）可得，f′（x）＝3x2-3＝3（x+1）（x﹣1），

令f′（x）＝0，得x＝±1，

當x＜﹣1或x＞1時f′（x）＞0，f(x)單調遞增，當﹣1＜x＜1時，f′（x）＜0，f(x)單調遞減；

所以當x＝﹣1時f（x）取得極大值，f（﹣1），當x＝1時f（x）取得極小值，f（1），大致圖像如圖：

要使方程f（x）＝k有3個解，只需k．

故實數k的取值范圍為（-2，2）．