Question

【題目】設函數，

（1）當時，求的單調區間；

（2）①證明：當時，函數在上恰有一個極值點；

②求實數的取值范圍，使得對任意的，恒有成立.

注：為自然對數的底數.

Answer 1

【答案】（1）的單調遞增區間為，單調遞減區間為，（2）①證明見解析；②.

【解析】

（1）求導后，由得遞增區間，由得遞減區間；

（2）①求導兩次后，利用零點存在性定理和極值點的概念可證結論；②當時，根據單調性可知不合題意，當時，利用①的結論，可知在上的最大值為，再將恒成立轉化為最大值即可解決.

（1）當時，，，

由，得，由，得，

所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）①證明：當時，，

令，則，

因為，所以，

當時，，，當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

因為，，

根據零點存在性定理可知，函數在上有唯一實根，設為，則，

所以當時，，當時，，

所以函數在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值，

所以當時，函數在上恰有一個極值點.

②當時，，由①知在上恒成立，

所以在上為增函數，所以，

所以在上遞增，所以恒成立， 不合題意，

當時，由①知，函數在上遞減，在上遞增，

設函數在上的最大值為，則，

若對任意的，恒有成立.

則，因為，所以由得，

得，得，得，

因為，所以.