Question

【題目】如圖，某市有相交于點O的一條東西走向的公路l，與南北走向的公路m，這兩條公路都與一塊半徑為1（單位：千米）的圓形商城A相切．根據市民建議，欲再新建一條公路PQ，點P、Q分別在公路l、m上，且要求PQ與圓形商城A也相切．

（1）當P距O處4千米時，求OQ的長；

（2）當公路PQ長最短時，求OQ的長．

Answer 1

【答案】(1) 3千米．(2) 千米

【解析】

（1）先建立以O為原點，直線l、m分別為x，y軸建立平面直角坐標系．設直線方程為：，由直線與圓的位置關系可得，運算即可得解；

（2）設，，由PQ與圓A相切，得，再結合重要不等式即可得解.

解：（1）以O為原點，直線l、m分別為x，y軸建立平面直角坐標系．

設PQ與圓A相切于點B，連結AB，以1千米為單位長度，

則圓A的方程為，

由題意可設直線PQ的方程為，即，，

∵PQ與圓A相切，∴，解得，

故當P距O處4千米時，OQ的長為3千米．

（2）設，，

則直線PQ方程為，即．

因為PQ與圓A相切，所以，

化簡得，即；

解法一：因此．

因為，，所以，于是．

又，解得，或

因為，所以，

，當且僅當時取等號，

所以PQ最小值為，此時．

答：當P、Q兩點距離兩公路的交點O都為（千米）時，新建公路PQ最短．

解法二：

化簡得，即．

因為

因為，所以．

當且僅當，即時取到等號，

答：當P、Q兩點距離兩公路的交點O都為（千米）時，新建公路PQ最短．

解法三：設PQ與圓A相切于點B，連結AB、AP、AQ，設，

則，，且，∴，

又∵，∴，

∴

（當且僅當取等號）

答：當P、Q兩點距離兩公路的交點O都為（千米）時，新建公路PQ最短．

解法四：設PQ與相切于點B，設，，

則，，，

在中，由得：，

化簡得：，∴，

解得：或（舍）

（當且僅當時等號成立）

∴當時，PQ有最小值；

答：當P、Q兩點距離公路交點O都為（千米）時，新建公路PQ最短．