Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，分別為的中點．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）要證明面面平行，根據判斷定理需證明平面內的兩條直線與另一個平面平行，即證明；（Ⅱ）以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求兩個平面的法向量

，求.

（I）連接

為正三角形.

為的中點， .

平面，

又平面平面，平面.

分別為的中點，

又平面，平面，平面.

又平面，，

平面平面.

（Ⅱ）連接.

平面平面，平面平面，平面，， 平面

又兩兩垂直

以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系

，則，

設平面的法向量，平面 的法向量

，

得

，

平面與平面所成銳二面角的余弦值為.