Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是正方形，且四個側面均為等邊三角形.延長至點使，連接，.

（1）證明：；

（2）求二面角平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接，交于點，連接，推導出平面，從而，由此能證明．

（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）連接，交于點，連接，如圖

∵底面是正方形

∴

∵四棱錐中四個側面均為等邊三角形

∴

又，故為、的中點

∴

∵

∴平面

∵，為的中點

∴

∴平面

∴

（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

設，則，0，，，，，，，，，0，，

，0，，，，，，，，

設平面的法向量，，，

則，取，得，1，，

設平面的法向量，，，

則，取，得，1，，

設二面角的平面角為，

則．

觀察圖形知二面角的平面角為鈍角

二面角的余弦值為．