Question

【題目】已知函數，，.

（1）當時，若在區間上單調遞減，求a的取值范圍；

（2）求滿足下列條件的所有實數對：當a是整數時，存在，使得是的最大值，是的最小值；

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

（1），對開口方向，結合對稱軸與區間的關系，得出關于的不等式，即可求解；

（2）根據已知可得，取得最小值，分析具有最大值的條件，求出 的取值范圍，進而得出是開口向下的拋物線，求出最大值時的且等于，得出關系，利用范圍，即可求解.

解：（1）當時，，

若，，

則在上單調遞減，符合題意.

若，則或，∴或，

綜上，

（2）若，，

則無最大值，故，∴為二次函數，

要使有最大值，必須滿足，

即且，

此時，時，有最大值.

又取最小值時，，

依題意，有，

則，

∵且，∴，

得，此時或.

∴滿足條件的實數對是，.