Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點為，點在橢圓上.

（1）設點到直線的距離為，證明：為定值；

（2）若是橢圓上的兩個動點（都不與重合），直線的斜率互為相反數，當時，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據點與點的距離，點到直線的距離，再根據點P在橢圓上；（2）設直線PA的方程為y﹣n＝k（x﹣m），則直線PB的方程為y﹣n＝﹣k（x﹣m），分別與橢圓聯立，求出點A，B的橫坐標，根據斜率公式化簡整理即可求出．

（1）橢圓C：1的左，右焦點為F1，F2，

則F2（1，0），

∵P（m，n）在橢圓C上，

∴1，

∴d＝4﹣m，|PF2||m﹣2||4﹣m|，

∴2．

（2）0＜m＜2，則n＞0，則直線PA，PB的斜率一定存在，設直線PA的方程為y﹣n＝k（x﹣m），則直線PB的方程為y﹣n＝﹣k（x﹣m），

由，消y可得（3+4k2）﹣8k（n﹣km）x+4（n﹣km）2﹣12＝0，

∴mxA，

即xA，

同理可得xB，

∴yA﹣yB＝k（xA﹣m）+n+k（xB﹣m）﹣n＝k（xA+xB﹣2m）＝k（2m），

xA﹣xB，

∵1，

∴﹣3m2＝4n2﹣12，

∴kABm，

當m＝1，n＞0時，kAB．