Question

【題目】如圖，在四棱錐中，PA⊥底面ABCD,AD||BC,AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中點．

（1）求證：AM||平面PCD；

（2）求證：平面ACM⊥平面PAB；

（3）若PC與平面ACM所成角為30°，求PA的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2)見解析.

(3) .

【解析】分析：(1)利用向量法證明即得AM||平面PCD.(2)利用向量法證明，即得平面ACM⊥平面PAB.(3)利用向量法解答，根據PC與平面ACM所成角為30°得到關于關于a的方程，解方程得到a的值，再求PA的長.

詳解：（1）如圖以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz,

A（1，1，0）,B（0，2，0）,C（0，0，0）,D（1，0，0）,P（1，1，a）(a>0)

M（）,=（1，1，a）,=（1，0，0）

設平面PCD法向量為,

令，則=（0，a，-1）,

所以,

所以AM||平面PCD

（2）=（1，1，0），,設平面ACM法向量為，

令，則，

（0，0，a）,=（-1，1，0）設平面PAB法向量為,

令，則=（1，1，0）,

所以.

所以平面ACM⊥平面PAB .

（3）由題得=（1，1，a）,

所以

解得 ，所以PA的長為 .