Question

【題目】已知函數 在處取到極值2.

（1）求的解析式；

（2）若a<e，函數，若對任意的，總存在（為自然對數的底數），使得，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)先對函數求導，再由函數在處取到極值2，可列出方程組，解方程組即可得出解析式;

(2)由(1)可得函數的定義域為R，且函數為奇函數，進而求出的值域，從而可求出的最小值，因此可將函數，若對任意的，總存在（為自然對數的底數），使得的問題轉化為在上成立的問題，用導數的方法研究函數的單調性和最值即可求出結果.

(1)因為，所以，

由在處取到極值2，可得

，解得，經檢驗，此時在取得極值，

所以

(2)由(1)知的定義域為R，且，所以函數為奇函數，，

時，，，當且僅當時，取等號；

故函數的值域為，從而，依題意有，

函數的定義域為，，

①當時，，函數在區間上單調的證，其最小值為,

符合題意；

②當時，函數函數在區間上有，單調遞減；在區間上有，單調遞增；所以函數最小值為，由，得,所以符合題意；

③當時，顯然函數在上單調遞減，其最小值為，不符合題意；

綜上所述，實數的取值范圍.為.