【題目】直角坐標系xOy中，橢圓
（a＞b＞0）的短軸長為
，離心率為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率為1且經過橢圓的右焦點的直線交橢圓于P1、P2兩點，P是橢圓上任意一點，若
（λ，μ∈R），證明：λ2+μ2為定值.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
（1）利用已知條件解得
，
，得到橢圓的方程.
（2）直線P1P2的方程為y＝x﹣2，由
得，2x2﹣6x+3＝0，
設P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、P（x0，y0），結合韋達定理，以及向量關系，通過P、P1、P2都在橢圓上，轉化求解即可.
（1）依題意，
，
，
解得，，橢圓的方程為，
（2）證明：
，直線P1P2的方程為y＝x﹣2，
由得，2x2﹣6x+3＝0，
設P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、P（x0，y0），則x1+x2＝3，
，
由
得x0＝λx1+μx2，y0＝λy1+μy2，
因為P、P1、P2都在橢圓上，所以
，i＝0，1，2，
＝6λ2+6μ2+3λμ（1+2y1y2），
，
所以，6λ2+6μ2＝6，λ2+μ2＝1是定值.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對有
個元素的總體
進行抽樣，先將總體分成兩個子總體
和
（
是給定的正整數，且
），再從每個子總體中各隨機抽取2個元素組成樣本.用
表示元素
和
同時出現在樣本中的概率.
（1）求
的表達式（用，
表示）；
（2）求所有
的和.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，a
，c
，________.（補充條件）
（1）求△ABC的面積；
（2）求sin（A+B）.
從①b＝4，②cosB
，③sinA
這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
的參數方程為
（
為參數），
，
為曲線上的一動點.
（I）求動點對應的參數從
變動到
時，線段
所掃過的圖形面積；
（Ⅱ）若直線與曲線的另一個交點為
，是否存在點，使得為線段
的中點？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2020年1月22日，國新辦發布消息：新型冠狀病毒來源于武漢一家海鮮市場非法銷售的野生動.專家通過全基因組比對發現此病毒與2003年的非典冠狀病毒以及此后的中東呼吸綜合征冠狀病毒，分別達到70%和40%的序列相似性.這種新型冠狀病毒對人們的健康生命帶來了嚴重威脅因此，某生物疫苗研究所加緊對新型冠狀病毒疫苗進行實驗，并將某一型號疫苗用在動物小白鼠身上進行科研和臨床實驗，得到統計數據如下：
未感染病毒 | 感染病毒 | 總計 | |
未注射疫苗 | 20 |
|
|
注射疫苗 | 30 |
|
|
總計 | 50 | 50 | 100 |
現從所有試驗小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率為
.
（1）求
列聯表中的數據
，
，
，
的值；
（2）能否有99.9%把握認為注射此種疫苗對預防新型冠狀病毒有效？
附：
.
| 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定義在
上的函數
滿足
，當
時
，則關于函數有如下四個結論：①為偶函數；②的圖象關于直線
對稱；③方程
有兩個不等實根；④
其中所有正確結論的編號是_______．
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