Question

【題目】已知函數f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e為自然對數的底數).
（1）判斷函數f(x)的單調性與奇偶性；
（2）是否存在實數t ， 使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f(x)＝ex－ x ， 且y＝ex是增函數，
y＝－ x是增函數，∴f(x)是增函數．
由于f(x)的定義域為R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函數
（2）解：由(1)知f(x)是增函數和奇函數，
∴f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x∈R恒成立
f(x2－t2)≥f(t－x)對一切x∈R恒成立
x2－t2≥t－x對一切x∈R恒成立
t2＋t≤x2＋x對一切x∈R恒成立
2≤ 對一切x∈R恒成立
2≤0t＝－ .
即存在實數t＝－ ，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x都成立
【解析】本題主要考查函數的性質單調性和奇偶性，以及恒成立問題。（1）根據已知條件可知復合函數的單調性：增+增=增，根據奇偶性的定義判斷函數的奇偶性。（2）把不等式恒成立的問題進行轉化，一步步地進行脫衣，去掉括號，求解不等式即可。