Question

【題目】已知曲線上任意一點到直線：的距離是它到點距離的2倍；曲線是以原點為頂點，為焦點的拋物線.

（1）求，的方程；

（2）設過點的動直線與曲線相交于，兩點，分別以，為切點引曲線的兩條切線，，設，相交于點.連接的直線交曲線于，兩點.

（i）求證：；

（ii）求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）的方程為，的方程為（2）（i）證明見解析（ii）

【解析】

（1）根據幾何特征列方程即可求解曲線方程；

（2）聯立直線與曲線方程，結合韋達定理處理，（i）證明斜率之積為-1，（ii）化簡代數式根據基本不等式求解最值.

（1）設，則由題意有，化簡得：.

故的方程為，

為拋物線的焦點，設其方程，

易知的方程為.

（2）（i）由題意可設的方程為，代入得，

設，，則，由有，

所以，的方程分別為，.故，

即，，從而.

（ii）可設的方程為，代入得

，設，，

則，

所以

（其中）.

設，則，故在單調遞增，

因此，

當且僅當即等號成立.

故的最小值為7.