Question

已知數列滿足（）．
（1）若數列是等差數列，求它的首項和公差；
（2）證明：數列不可能是等比數列；
（3）若，（），試求實數和的值，使得數列為等比數列；并求此時數列的通項公式．

Answer 1

（1）首項為，公差為，（2）詳見解析，（3），，.

解析試題分析：（1）求特殊數列（等差數列或等比數列）通項的基本方法就是待定系數法.本題中只需確定公差與首項，即只需列出兩個獨立條件就可解出. 由已知，，若是等差數列，則，即，得，， 故．所以，數列的首項為，公差為．（2）證明數列不可能是等比數列，宜從反面出發推出矛盾即可. 假設數列是等比數列，則有，解得，從而，，又．，，，不成等比數列，與假設矛盾，（3）本題也可同（1）一樣用待定系數法解，即需列出三個獨立條件，解出參數但運算量較大，故考慮用方程恒等，系數對應相等方法求解. 由化簡得，所以， 再由數列通項可得.
試題解析：解（1）由已知，，
若是等差數列，則，即，
得，， 故．
所以，數列的首項為，公差為． （5分）
（2）假設數列是等比數列，則有，
即，
解得，從而，，
又．
因為，，，不成等比數列，與假設矛盾，
所以數列不是等比數列．     （10分）
（3）由題意，對任意，有（為定值且），
即．
即，
于是，，
所以，
所以，當，時，數列為等比數列．
此數列的首項為，公比為，所以