在數列
中，
且對任意的
成等比數列，其公比為
，
（1）若
；
（2）若對任意的
成等差數列，其公差為
．
①求證：
成等差數列，并指出其公差；
②若
，試求數列
的前
項和
．
(1)
;(2)①
；②
或
解析試題分析：(1)由于
，因此
成等比數列，且公比為4，故和易求；（2）①要證明
是等差數列，就是要證明
為常數，也就是要找到與
的關系，我們從唯一的已知條件有
即
，這就是
變形為
即
由此就證得
；②求數列的前項和，必須先求出通項
，而
，因此又應該求出
，這時我們來看看已知可得出什么？由
得
即
，解得：
或
，從而可求得
，于是可通過是公差為1的等差數列，求出，下面我們想辦法通過把聯系起來，
，于是
，而再用
可得出
，所以，那么可求．
試題解析：（1）因為，所以
（1分）
故
是首項為1，公比為4的等比數列，
所以
（4分）
（2）①因為
成等差數列，所以
而
所以（6分）
則得
所以
所以
是等差數列，且公差是等差數列，且公差為1． 
（9分）
②因為所以則由，解得：或。
（11分）
(i) 當時，
，所以
，則
即
，得
，所以
則
所以
（13分）
則
，故；（
53隨堂測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
滿足
（
）．
（1）若數列是等差數列，求它的首項和公差；
（2）證明：數列不可能是等比數列；
（3）若
，
（），試求實數
和
的值，使得數列
為等比數列；并求此時數列的通項公式．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
成等差數列的三個正數的和等于15,并且這三個數分別加上2、5、13后成為等比數列
中的
、
、
.
（1）求數列的通項公式;
(2)數列的前n項和為
,求證:數列
是等比數列.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
從
中這
個數中取
（
，
）個數組成遞增等差數列，所有可能的遞增等差數列的個數記為
．
（1）當
時，寫出所有可能的遞增等差數列及
的值；
（2）求
；
（3）求證：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設無窮數列{an}滿足：?n∈Ν?，an<an＋1，an∈N?．記bn＝aan，cn＝aan＋1(n∈N*)．
(1)若bn＝3n(n∈N*)，求證：a1＝2，并求c1的值；
(2)若{cn}是公差為1的等差數列，問{an}是否為等差數列，證明你的結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設正項數列{an}的前n項和是Sn，若{an}和{
}都是等差數列，且公差相等．
(1)求{an}的通項公式；
(2)若a1，a2，a5恰為等比數列{bn}的前三項，記數列cn＝
，數列{cn}的前n項和為Tn，求Tn.
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是公差不為零的等差數列，
，且
是
和
的等比中項，求：
.
中，
，
.
項和
，求
的公差不為零，其前n項和為
，若
=70，且
成等比數列，
的前n項和為
，求證：
．