Question

設數列的各項均為正數，其前n項的和為，對于任意正整數m,n, 恒成立.
(Ⅰ)若=1,求及數列的通項公式;
(Ⅱ)若,求證:數列是等比數列.

Answer 1

(Ⅰ) ， ， ；(Ⅱ)參考解析

試題分析：(Ⅰ)通過令，可求得.同理可以求出.由于所給的等式中有兩個參數m,n.所以以一個為主元，讓另一個m=1,和m=2取特殊值通過消去即可得到一個關于與的遞推式.從而可求出的通項式，從而通過，可求出通項.但前面兩項要驗證是否符合.
(Ⅱ)因為已知，所以令.即可求得與的關系式.再利用.又得到了一個關于與的關系式.從而可得與的關系式.又根據與.可求出.再根據及.即可求出結論.最后要驗證前兩項是否成立.
試題解析：（1）由條件，得 ①
在①中，令，得 ②
令，得 ③
③/②得，記，則數列是公比為的等比數列。
④
時，， ⑤
④-⑤，得，當n≥3時，{}是等比數列.
在①中，令，得，從而，則，所以.
又因為，所以    2分
在①中，令，得，則⑥
在①中，令，得，則⑦
由⑥⑦解得：                     6分
則，由
得
又，也適應上式，所以.        8分
（2）在①中，令，得，則，所以；
在①中，令，得，則，所以，則，；代入式，得           12分
由條件得
又因,所以
故，
因為，也適應上式，所以
所以數列是等比數列．                        14分