Question

【題目】已知函數

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）討論的單調性；

（3）證明：為自然對數的底數）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）若上單調遞減，若

和上單調遞減，若，在上單調遞增，在單調遞減；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）求極值，只要求得，然后解方程，注意驗證此方程解的兩邊導數的正負，可得極值點，相應得到值；（2）主要研究導函數的正負，，因此只要考慮，先討論，然后研究，在時，分類，在時不要注意兩根的大小，正確分類后可得結論；（3）要證明不等式，聯想（2）的結論，在（2）中令，得，即，因此，再取，所得相加可證題設不等式．

試題解析：（1）是的一個極值點，則，驗證知=0符合條件

（2）

1）若=0時，

單調遞增，在單調遞減；

2）若

上單調遞減

3）若

再令

在

綜上所述，若上單調遞減，

若

。

若

（3）由（2）知，當

當