Question

【題目】已知圓經過點， ，并且直線平分圓.

（1）求圓的方程；

（2）若直線與圓交于兩點，是否存在直線，使得（為坐標原點），若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 不存在直線.

【解析】試題分析: (1)由弦的中垂線必過圓心,所以求出線段的中垂線,與3x-2y=0的交點即為圓心,由兩點間距離公式求圓的半徑.(2) 設，由向量的數量積坐標表示可知,直線與圓組方程組,利用韋達代入上式,可求得k,同時檢驗判別式.

試題解析:（1）線段的中點，，

故線段的中垂線方程為，即.

因為圓經過兩點，故圓心在線段的中垂線上.

又因為直線：平分圓，所以直線經過圓心.

由 解得，即圓心的坐標為，

而圓的半徑，

所以圓的方程為：

（2）設，

將代入方程，得，

即 ，

由，得，

所以，.

又因為

所以

，解得或

此時式中，沒有實根，與直線與交于兩點相矛盾，

所以不存在直線，使得.