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【題目】設函數是定義在上的函數，并且滿足下面三個條件：①對任意正數，都有；②當時， ；③.

（1）求， 的值；

（2）證明在上是減函數；

（3）如果不等式成立，求的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析; （Ⅲ））.

【解析】試題分析：（1）利用賦值法，求、的值．
（2）利用單調性的定義，結合抽象函數之間的數值關系進行證明．
（3）利用函數的單調性將不等式進行轉化，解不等式即可．

試題解析：

（Ⅰ）令易得．

而，

且，得．

（Ⅱ）

∴

∴在上為減函數．

（Ⅲ）由條件（1）及（Ⅰ）的結果得： ，其中，

由（Ⅱ）得： ，解得的范圍是）

點晴：本題屬于對函數單調性的證明和單調性應用的考察，若函數在區間上單調遞增，則時，有，事實上，若,則，這與矛盾，類似地，若在區間上單調遞減，則當時有；據此可以解不等式，由數值的大小，根據單調性就可以得自變量的大小關系.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知☉O:x2+y2=1和定點A(2,1),由☉O外一點P(a,b)向☉O引切線PQ,切點為Q,且滿足|PQ|=|PA|.

(1)求實數a,b間滿足的等量關系.

(2)求線段PQ長的最小值.

(3)若以P為圓心所作的☉P與☉O有公共點,試求半徑取最小值時☉P的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若二次函數f（x）=x2+bx+c滿足f（2）=f（﹣2），且函數的f（x）的一個零點為1． （Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）對任意的 ，4m2f（x）+f（x﹣1）≥4﹣4m2恒成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在某單位的職工食堂中，食堂每天以元/個的價格從面包店購進面包，然后以元/個的價格出售．如果當天賣不完，剩下的面包以元/個的價格賣給飼料加工廠．根據以往統計資料，得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如下圖所示．食堂某天購進了90個面包，以（單位：個， ）表示面包的需求量， （單位：元）表示利潤．

（Ⅰ）求關于的函數解析式；

（Ⅱ）根據直方圖估計利潤不少于元的概率；

（III）在直方圖的需求量分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中間值的概率(例如：若需求量，則取，且的概率等于需求量落入的頻率)，求的分布列和數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數， 為自然對數的底數.

（1）若函數的圖象在點處的切線方程為，求實數， 的值；

（2）當時，若存在， ，使成立，求實數的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對稱軸與x 軸相交于點M．
（1）求拋物線的解析式和對稱軸；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）連結AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）=x+ （Ⅰ）判斷函數的奇偶性，并加以證明；
（Ⅱ）用定義證明f（x）在（0，1）上是減函數；
（Ⅲ）函數f（x）在（﹣1，0）上是單調增函數還是單調減函數？（直接寫出答案，不要求寫證明過程）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數滿足下列條件：

①周期；②圖象向左平移個單位長度后關于軸對稱；③.

（1）求函數的解析式；

（2）設， ， ，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數， .

（1）若，討論函數的單調性；

（2）是否存在實數，對任意， ， 有恒成立，若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由；

（3）記，如果是函數的兩個零點，且， 是的導函數，證明： .

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