Question

【題目】設函數， 為自然對數的底數.

（1）若函數的圖象在點處的切線方程為，求實數， 的值；

（2）當時，若存在， ，使成立，求實數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）， ;（2）.

【解析】【試題分析】（1）先依據題設運用導數的幾何意義建立方程求解；（2）先不等式進行等價轉化與化歸，再夠 造函數運用導數知識分析求解：

（1）由已知得， ， ，

則，且，解之得， .

（2）當時， .

又 = .

故當，即時， .

“存在， 使成立”等價于“當時，有”，

又當時， ， ，

問題等價于“當時，有”.

當時， 在上為減函數，則 .

故；

②當時， 在上的值域為.

（i）當，即時， 在上恒成立，故在上為增函數，

于是 ，不合題意；

（ii）當，即時，由的單調性和值域知.

存在唯一，使，且滿足

當時， ， 為減函數；

當時， ， 為增函數.

所以 ， .

所以 ，與矛盾.

綜上，得的最小值為.