【題目】在直角坐標系
中，點
，
是曲線
上的任意一點，動點
滿足
（1）求點的軌跡方程；
（2）經過點
的動直線
與點的軌跡方程交于
兩點，在
軸上是否存在定點
（異于點
），使得
？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由.
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【題目】已知橢圓
的右焦點是拋物線
的焦點，直線
與
相交于不同的兩點
．
（1）求的方程；
（2）若直線經過點
，求
的面積的最小值(
為坐標原點)；
（3）已知點
，直線經過點
，
為線段
的中點，求證：
．
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【題目】設數列
滿足
，
，
.
（1）求證：數列
為等比數列；
（2）對于大于
的正整數
、
（其中
），若
、
、
三個數經適當排序后能構成等差數列，求符合條件的數組
；
（3）若數列
滿足
，是否存在實數
，使得數列是單調遞增數列？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.
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【題目】如圖1，在等腰梯形
中，兩腰
，底邊
是
的三等分點，
是
的中點.分別沿
將四邊形
和
折起，使
重合于點
，得到如圖2所示的幾何體.在圖2中，
分別為
的中點.
(1)證明:
平面
(2)求幾何體
的體積.
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【題目】如圖所示，沿河有A、B兩城鎮，它們相距
千米．以前，兩城鎮的污水直接排入河里，現為保護環境，污水需經處理才能排放．兩城鎮可以單獨建污水處理廠，或者聯合建污水處理廠（在兩城鎮之間或其中一城鎮建廠，用管道將污水從各城鎮向污水處理廠輸送）．依據經驗公式，建廠的費用為
（萬元），
表示污水流量；鋪設管道的費用（包括管道費）
（萬元），
表示輸送污水管道的長度（千米）．已知城鎮A和城鎮B的污水流量分別為
、
，
、
兩城鎮連接污水處理廠的管道總長為千米．假定：經管道輸送的污水流量不發生改變，污水經處理后直接排入河中．請解答下列問題（結果精確到
）：
（1）若在城鎮A和城鎮B單獨建廠，共需多少總費用？
（2）考慮聯合建廠可能節約總投資，設城鎮A到擬建廠的距離為千米，求聯合建廠的總費用
與的函數關系式，并求的取值范圍．
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【題目】已知數列
是各項均不為0的等差數列，公差為
，
為其前
項和，且滿足
.數列
滿足
，
為數列的前項和.
（1）求
；
（2）求
；
（3）若對任意的
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍.
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【題目】已知數列
的各項均為正數，且
，對于任意的
，均有
，
.
（1）求證：
是等比數列，并求出的通項公式；
（2）若數列
中去掉的項后，余下的項組成數列
，求
；
（3）設
，數列
的前
項和為
，是否存在正整數
，使得
、
、成等比數列，若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系中，曲線C的參數方程為
（
為參數），以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求曲線C的極坐標方程；
（2）過點
，傾斜角為
的直線l與曲線C相交于M，N兩點，求
的值.
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【題目】已知函數
，其導函數設為
.
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）若函數有兩個極值點
，
，試用
表示
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若的極值點恰為的零點，試求，這兩個函數的所有極值之和的取值范圍.
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