Question

【題目】已知斜率為1的直線交拋物線：（）于，兩點，且弦中點的縱坐標為2.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）記點，過點作兩條直線，分別交拋物線于，（，不同于點）兩點，且的平分線與軸垂直，求證：直線的斜率為定值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】

(1)涉及中點弦,用點差法處理即可求得,進而求得拋物線方程;

(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數,且不等于零,設,直線,則直線分別和拋物線方程聯立, 解得利用,結合直線方程,即可證得直線的斜率為定值.

(1)設,則,兩式相減,得: 由弦中點的縱坐標為2,得,故.所以拋物線的標準方程.

(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數,且不等于零,設直線由得由點在拋物線上,可知上述方程的一個根為.即,同理 .

直線的斜率為定值.