【題目】如圖，在
中，
，
，
.過
的中點
的動直線
與線段
交于點
.將
沿直線向上翻折至
，使得點
在平面
內的投影
落在線段
上.則點的軌跡長度為________.
【答案】
【解析】
建立空間坐標系，求出
的軌跡，根據折疊過程中量之間的關系的
，可得
的取值范圍，進而得到圓心角，從而弧長即點的軌跡長度.
因為翻折前后
長度不變，所以點可以在空間中看做以
為球心，AC為直徑的球面上，又因為的投影始終在
上，所以點所在的面
垂直于底面
，
故點軌跡為垂直于底面ABC的豎直面去截球所得圓面的圓弧，這個圓弧的直徑為
時，
的長度（由余弦定理可得
，所以此時
），
如圖，以底面點B為空間原點建系，根據底面幾何關系，
得點
，點
，
設點
，翻折后點的投影
在軸上，
所以點縱坐標為0，即
由
，
，
根據空間兩點之間距離公式可得軌跡：
，
又因為動點要符合空間面翻折結論：
，
即
，其中
，
又動點N在線段AB上動，設
，
故
，
且
，由，可計算得橫坐標范圍為
，
且點在上方，由，計算可得圓弧所在扇形圓心角為，
所以弧長為
.
故答案為：.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】惠州市某商店銷售某海鮮，經理統計了春節前后50天該海鮮的日需求量
（
，單位：公斤），其頻率分布直方圖如下圖所示.該海鮮每天進貨1次，每銷售1公斤可獲利40元；若供大于求，剩余的海鮮削價處理，削價處理的海鮮每公斤虧損10元；若供不應求，可從其它商店調撥，調撥的海鮮銷售1公斤可獲利30元.假設商店該海鮮每天的進貨量為14公斤，商店銷售該海鮮的日利潤為
元.
（1）求商店日利潤關于日需求量的函數表達式.
（2）根據頻率分布直方圖，
①估計這50天此商店該海鮮日需求量的平均數.
②假設用事件發生的頻率估計概率，請估計日利潤不少于620元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，
的參數方程為
（t為參數）.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為
.
（1）求的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）求曲線C上的點到距離的最大值及該點坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某精密儀器生產車間每天生產
個零件，質檢員小張每天都會隨機地從中抽取50個零件進行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對其余所有零件進行檢查．根據多年的生產數據和經驗，這些零件的長度服從正態分布
（單位：微米
），且相互獨立．若零件的長度
滿足
，則認為該零件是合格的，否則該零件不合格．
（1）假設某一天小張抽查出不合格的零件數為
，求
及的數學期望
；
（2）小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件，若以此頻率作為當天生產零件的不合格率．已知檢查一個零件的成本為10元，而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元．假設充分大，為了使損失盡量小，小張是否需要檢查其余所有零件，試說明理由．
附：若隨機變量
服從正態分布
，則
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓
的長軸長為
，點
、
、
為橢圓上的三個點，為橢圓的右端點，
過中心
，且
，
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設
、
是橢圓上位于直線
同側的兩個動點（異于、），且滿足
，試討論直線
與直線
斜率之間的關系，并求證直線
的斜率為定值.
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