Question

【題目】已知橢圓： 的長軸長為，且經過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦與，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由題意知，將點代入橢圓方程， 可得，由此可知橢圓的標準方程；

（Ⅱ）分別對兩條弦的斜率進行討論，當兩條弦中一條斜率為0時、另一條弦的斜率不存在時易得結論；當兩條弦斜率均存在且不為0時，通過設直線方程并分別與橢圓方程聯立，利用韋達定理及兩點間距離公式，可得|的表達式，利用換元法及二次函數的性質計算即得結論．

試題解析：（1）由題意知則，根據經過點， 可得，由此可知橢圓的標準方程為.

（2）當兩條弦中一條斜率為時，另一條弦的斜率不存在，由題意知，

當兩弦斜率均存在且不為時，設， ，且設直線的方程為，則直線的方程為，

將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得，則，

所以 ，

同理 ，

所以 ，令，

則， ， ，設 ，

因為，所以，所以，

所以，綜上可知， 的取值范圍是.