Question

【題目】如圖，已知四棱錐，底面為菱形， 平面，，E，F分別是，的中點.

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析 (2)

【解析】

（1）在底面菱形中可得，.由平面，得.從而有線面垂直，因此線線垂直；

（2）由于圖中有，，兩兩垂直，因此以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，設，，寫出各點坐標，求出平面的法向量，用空間向量法表示線面角求出a，再求解二面角．

（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形.

因為E為的中點，所以.又，因此.

因為平面，平面，所以.

而平面，平面，且，

所以平面，又平面.所以.

（2）由（1）知，，兩兩垂直，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，設，，則，，

所以，且為平面的法向量，設直線與平面所成的角為，由，則有

解得

所以，

設平面的一法向量為，則，

因此取，

則

因為，所以平面，故為平面的一法向量

又

所以.

因為二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為