Question

【題目】已知函數滿足，對于任意都有，且，另

（1）求函數的表達式；

（2）當時，求函數的單調區間；

（3）當時，判斷函數在區間上的零點個數，并給予證明.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當時，函數單調遞增區間為，單調遞減區間為

；

（3）當時，函數在區間上只有一個零點,證明見解析.

【解析】

（1）先由，得，由，得出對稱軸方程為，于是得出，再由得出不等式對任意恒成立，于是得出，從而解出、的值，進而得出函數的解析式；

（2）先將函數表示成分段函數的形式，考查對稱軸與相應定義域的位置關系，結合二次函數的性質得出函數的單調區間；

（3）利用（2）中函數的單調性，結合單調性與零點存在定理得出函數的零點個數.

（1），，

對于任意都有,

函數的對稱軸為，即，得.

又，即對于任意都成立，

且，又，，．

；

（2）.

① 當時，函數的對稱軸為，

若，則，函數在上單調遞增；

② 當時，函數的對稱軸為，

則函數在上單調遞增，在上單調遞減．

綜上所述，當時，函數單調遞增區間為，單調遞減區間為

；

（3）當時，由（2）知函數在區間上單調遞增，

又，，故函數在區間上只有一個零點．