Question

【題目】設橢圓的左、右焦點分別為，左項點為上頂點為.已知.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設為橢圓上在第一象限內一點,射線與橢圓的另一個公共點為,滿足，直線交軸于點，的面積為.

(i)求橢圓的方程.

(ii)過點作不與軸垂直的直線交橢圓于（異于點）兩點，試判斷的大小是否為定值，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）(i) (ii) 是定值，證明見解析.

【解析】

（1）根據，得到，之間的關系，從而得到離心率；（2）(i)設橢圓方程為，根據，得到，代入橢圓方程得，從而得到直線的方程和點坐標，表示出的面積，解出，得到橢圓方程；(ii) 設直線的方程為: ，與橢圓聯立得到，，對進行計算化簡，從而得到，是定值.

（1），，則

因為，

所以

解得，

所以.

（2）(i)由（1）得，即，

設橢圓的標準方程為.

由題意設，所以，

由，易知，

所以，得，

代入橢圓方程得，

所以

所以，直線，

令得

所以，

所以，

解得，

所以橢圓的方程為

(ii)顯然點在橢圓內部，直線的斜率存在且不為.

設直線的方程為:

聯立方程，化簡得，

設，

則，

又，則，，

所以是定值.