Question

【題目】在平面直角坐標系下，已知圓O：，直線l：（）與圓O相交于A，B兩點，且.

（1）求直線l的方程；

（2）若點E，F分別是圓O與x軸的左、右兩個交點，點D滿足，點M是圓O上任意一點，點N在線段上，且存在常數使得，求點N到直線l距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）等價于圓心O到直線l的距離，再由點到直線的距離公式求解即可；

（2）先設點，再結合題意可得點N在以為圓心，半徑為的圓R上，再結合點到直線的距離公式求解即可.

解：（1）∵圓O：，圓心，半徑，

∵直線l：（）與圓O相交于A，B兩點，且，

∴圓心O到直線l的距離，

又，，解得，∴直線l的方程為；

（2）∵點E，F分別是圓O與x軸的左、右兩個交點，，

∴，，

設，，

則，，，，

，即.

又∵點N在線段上，即，共線，

，

，

∵點M是圓O上任意一點，

，

∴將m，n代入上式，可得，

即.

則點N在以為圓心，半徑為的圓R上.

圓心R到直線l：的距離，

又，故點N到直線l：距離的最小值為1.