Question

【題目】已知(，且為常數).

(1)求的單調區間；

(2)若在區間內，存在且時，使不等式成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】 (1) 時，單調遞增區間為，單調遞減區間為;時，函數單調遞增區間為，單調遞減區間為.(2)

【解析】

（1）先求導數，再根據正負分類討論單調區間，（2）先根據單調性化簡不等式，構造新函數，轉化為研究新函數在區間上存在單調遞減區間，利用導數研究新函數導數小于零有解，再利用變量分離法確定的取值范圍.

(1)∵(且為常數)，∴，

∴①若時，當，；當時，，即時，函數單調遞增區間為，單調遞減區間為.

②若時，當，；當時，，即時，函數單調遞增區間為，單調遞減區間為.

(2)由(1)知，在區間上單調遞減，不妨設，則，∴不等式可化為，即，令，則在區間上存在單調遞減區間，∴有解，即，∴有解，令，則，由得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，∴，故.